问题
问答题
已知A是三阶矩阵，A的每行元素之和为3，且线性齐次方程组AX=0有通解k11，2．-2T+k22，1，2T，α=1，1，1T．其中k1，k2是任意常数．
(Ⅰ)证明：对任意的一个三维向量β，向量Aβ和α线性相关；
(Ⅱ)若β=3，6，-3T，求Aβ．
答案
参考答案：(Ⅰ)由题条件，A的每行元素之和为3，则
[*]
即A有特征值λ1=3，对应的特征向量为ξ1=1，1，1T．
Ax=0有通解 k11，2，-2T+k22，1，2T．知A有特征值λ2=λ3=0，对应的特征向量为
ξ2=1，2，-2T，ξ32，1，2T
因ξ1，ξ2．ξ3线性无关，故任意三维向量β均可由ξ1，ξ2，ξ3线性表出，设
β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，
从而有[*]
得证Aβ和α线性相关．
(Ⅱ)当β=3，6，-3T时．令β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，
即解非齐次线性方程组
[*]
对(*)的增广矩阵作初等行变换，得
[*]
解析：[注] 初等行变换中第二个矩阵为台阶形，可直接求解(先求x2)．