在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求：
(Ⅰ) 甲攻擂次数X1的概率分布；
(Ⅱ) 乙攻擂次数X2的概率分布；
(Ⅲ) 擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布．
(Ⅳ) 假设乙对丙的胜率p2是1/4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．
参考答案：[解] (Ⅰ) 由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题．
事件“X1=n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”，则
P{X1=n}=(q1q2)n-1(p1+q1p2)，n=1，2…．
[*]
其中qi=1-pi，i=1，2．
(Ⅱ) “X2=0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上场，P{X2=0}=p1；“X2=n”(n≥1)表示“甲、乙与丙各对阵n-1次均失败，甲、丙第n次对阵中甲又失败，但乙、丙第n次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵n次均失败，甲在第n+1次与丙再对阵时胜丙”，则
P{X2=n}=(q1q2)n-1(q1p2+q1q2p1)=q1(p2+q2p1)(q1q2)n-1，n=1，2，…．
(Ⅲ) 显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功．
“X3=2n-1”表示“在丙前2n-2次守擂均成功，第2n-1次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局n-1次均失败，而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”，因此有
P{X3=2n-1}=(q1q2)n-1p1，n=1，2，…．
类似分析可知 P{X3=2n
