问题
单项选择题
设二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx，其中AT=A，x=(x1，x2，…，xn)T，则f为正定二次型的充分必要条件是
(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使QTAQ=E．
(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=CTC．
答案
参考答案：D
解析： 选项(A)是必要条件，但不是充分条件．因为f=xTAx正定的充分必要条件是正指数p=n．负指数为零不一定有p=n．
选项(B)是充分条件，但不是必要条件．实际上，如果f为正定二次型，则A为正定矩阵，可知A的特征值全大于零．假设存在正定矩阵Q，使QTAQ=Q-1AQ=E，则A的特征值全为1．显然，A正定时，其特征值虽大于零但未必全是1．
选项(C)是必要条件，但非充分条件．因为f的秩为n时，其规范形中仍可能有负的平方项．
选项(D)正确．A正定的充分必要条件是A合同于E，即存在可逆矩阵C，有A=CTEC=CTC．故应选(D)．