设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果 (A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B)

问题单项选择题

设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果
(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．
(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．

答案

参考答案：D

解析：根据实二次型惯性定理的推论，即如果f=x^TAx与g=y^TBy却都是n个变量的实二次型，它们有相同的秩与正惯性指数，则必有非退化的线性代换x=Py，使得x^TAx=y^T(P^TAP)y=y^TBy．
因为A，B为实对称矩阵，并且为同型矩阵，故A，B分别为相同变量的两个实二次型的矩阵，且r(A)=r(B)及A，B正惯性指数相等，即两个二次型有相同的秩和正惯性指数，据实二次型惯性定理的推论，则必有非退化的线性代换x=Py，使得x^TAx=y^T(P^TAP)y=y^TBy，由P^TAP=B可知A与B合同．故应选(D)．