问题
单项选择题
设A,B为实对称矩阵,则A合同于B,如果
(A) r(A)=r(B). (B) A,B为同型矩阵.
(C) A,B的正惯性指数相等. (D) 上述三项同时成立.
答案
参考答案:D
解析: 根据实二次型惯性定理的推论,即如果f=xTAx与g=yTBy却都是n个变量的实二次型,它们有相同的秩与正惯性指数,则必有非退化的线性代换x=Py,使得xTAx=yT(PTAP)y=yTBy.
因为A,B为实对称矩阵,并且为同型矩阵,故A,B分别为相同变量的两个实二次型的矩阵,且r(A)=r(B)及A,B正惯性指数相等,即两个二次型有相同的秩和正惯性指数,据实二次型惯性定理的推论,则必有非退化的线性代换x=Py,使得xTAx=yT(PTAP)y=yTBy,由PTAP=B可知A与B合同.故应选(D).