问题
解答题
自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （3）设a=2，b=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。
答案
解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
因此
即
。
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得
恒等于0，n∈N*
所以
，即
因为x1>0，
所以a>b
猜测：当且仅当a>b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变。
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn（3-b-xn），n∈N*，
知0＜xn＜3-b，n∈N*，
特别地，有0＜x1＜3-b
即0＜b＜3-x1
而x1∈（0，2），
所以
由此猜测b的最大允许值是1
下证当x1∈（0，2），b=1时，都有xn∈（0，2），n∈N*
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即xk∈（0，2），
则当n=k+1时，xk+1=xk（2-xk）>0
又因为xk+1=xk（2-xk）=-（xk-1）2+1≤1＜2，
所以xk+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈（0，2）
综上所述，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N*，
则捕捞强度b的最大允许值是1。