问题
解答题
| 已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件 ①∀n∈N*，an≠0； ②点Pn（an，Sn）在函数f（x）=
（I）求数列{an}的通项an及前n项和Sn； （II）求证：0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1． |
答案
（I）由题意Sn=
，an2+an 2
当n≥2时an=Sn-Sn-1=
-an2+an 2
，an-12+an-1 2
整理，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
又∀n∈N*，an≠0，所以an+an-1=0或an-an-1-1=0，
当an+an-1=0时，a1=1，
=-1，an an-1
得an=(-1)n-1，Sn=
；1-(-1)n 2
当an-an-1-1=0时，a1=1，an-an-1=1，
得an=n，Sn=
．n2+n 2
（II）证明：当an+an-1=0时，Pn((-1)n-1，
)，1-(-1)n 2
|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=
，所以|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0，5
当an-an-1-1=0时，Pn(n，
)，n2+n 2
|Pn+1Pn+2|=
，|PnPn+1|=1+(n+2)2
，1+(n+1)2
|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=
-1+(n+2)2 1+(n+1)2
=1+(n+2)2-1-(n+1)2
+1+(n+2)2 1+(n+1)2
=
，2n+3
+1+(n+2)2 1+(n+1)2
因为
＞n+2，1+(n+2)2
＞n+1，1+(n+1)2
所以0＜
＜1，2n+3
+1+(n+2)2 1+(n+1)2
综上0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．
