问题
解答题
已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=
（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式； （2）设an=nf(n)
（3）设bn=
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答案
（1）令x=n，y=1，得到
f（n+1）=f（n）•f（1）=
f(n)1 2
∵f（n+1）=
f（n），f(1)=1 2
，1 2
∴{f（n）}是首项为
，公比为1 2
的等比数列，1 2
由等比数列前n项和公式，知
∴f（n）=
．1 2 n
（2）∵f（n）=
，∴an=nf(n)=n×1 2 n
=1 2 n
．n 2n
设Sn=a1+a2+…+an，
则Sn=
+1 2
+…+2 22
+n-1 2 n-1
，n 2n
两边同乘
，1 2
得
Sn=1 2
+1 22
+…+2 2 3
+n-1 2 n
，n 2 n+1
错位相减，得
Sn=1 2
+1 2
+1 2 2
+…+1 23
-1 2 n n 2 n+1
=
-
(1-1 2
)1 2 n 1- 1 2 n 2 n+1
=1-
-1 2 n
，n 2 n+1
∴Sn=2-
-1 2 n-1
＜2．n 2 n+1
所以a1+a2+…+an＜2．
（3）∵bn=
=nf(n+1) f(n)
=n× 1 2 n+1 1 2 n n 2
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn
=
+1 2
+2 2
+…+3 2 n 2
=
．n(n+1) 4
∴
+1 S1
+1 S2
+…+1 S3 1 Sn
=4[(1-
)+(1 2
-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 4
-1 n
)]1 n+1
=4（1-
），1 n+1
∴
(lim n→∞
+1 S1
+…+1 S2
)=1 Sn
4(1-lim n→∞
)=4．1 n+1
