问题
问答题
已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
答案
参考答案：由题设，先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩r(A)，由已知α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，则r(A)=3，则原方程组Ax=β相应的齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数应为4-r(A)=4-3=1．又由已知，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，则原方程组Ax=β的增广矩阵(α1，α2，α3，α4，β)的秩也等于3，从而可知Ax=β有无穷多解．
由α1-2α2+α3=0，知当x=(1，-2，1，0)T时，
即x是Ax=0的一个基础解系．而由β=α1+α2+α3+α4知，当x=(1，1，1，1)T时，
即X=(1，1，1，1)t是Ax=β的一个特解．综上可知，Ax=β的通解为：
其中C是任意常数．
解析：[考点提示] 线性无关、线性相关、基础解系．
注 本题也可直接求解Ax=β，即今x=[*]，则Ax=β将α1=2α2-α3及β=α1+α2+α3+α4，代入上式，得
(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．
由题设α2，α3，α4线性无关， 从而[*]此方程的增广矩阵为[*]通过初等行变换化为行简化阶梯形[*]由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为[*]，特解为[*]，因此该方程组(也即原方程组)的通解为：
[*]
其中C为任意常数．