设数列{un}是公差不为零的等差数列，|u11|=|u51|，u20=22，设{

问题解答题

设数列{u_n}是公差不为零的等差数列，|u₁₁|=|u₅₁|，u₂₀=22，设{u_n}的前n项和为S_n，{|u_n|}的前n项和为T_n．
（1）求u₃₁值；
（2）求T_n的表达式；
（3）求

lim

n→∞

的值．

答案

（1）∵|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0

∴u₁₁=-u₅₁

由等差数列的性质可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0

∴u₃₁=0

（2）由（1）可得u₁=-30d

∴u₂₀=u₁+19d=-11d=22

∴d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62

∴Sn=60n+

n(n-1)

×(-2)=-n²+61n

当n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n=-n²+61n

n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|

=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）

=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n=n²-61n+1860

（3）

lim

n→∞

lim

n→∞

61n-n2

n2-61n+1860

lim

n→∞

-1

1860

=-1