问题
问答题
设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T．试讨论当a，b为何值时，
(Ⅰ) β不能由α1，α2，α3线性表示；
(Ⅱ) β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；
(Ⅲ) β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．
答案
参考答案：β能否由α1，α2，α3线性表示的问题等价于讨论方程组k1α1+k2α1+k3α1=β的解的性质，其中k1，k2．k3是引入的一组数，该方程组系数矩阵为A=(α1，α2，α3)，增广矩阵为
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利用初等行变换将其化为阶梯行：
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(Ⅰ) 当a=0，b为任意常数时，阶梯形变为[*]，则[*]，从而原方程组无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示．
(Ⅱ) 当a≠0，且a≠b时，显然[*]，因此原方程组有唯一解
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即β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为[*]
(Ⅲ) 当a=b≠0时，[*]的阶梯形可化为
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则[*]，从而原方程组有无穷多解．
令k为任意常数，则[*]，即β可由α1，α2，α3线性表示，表示式不唯一，
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解析：[考点提示] 线性表示、非齐次线性方程组．