（1）证明：由已知P是MN的中点，有x₁+x₂=1，

∴y1+y2=log3

3 x1

1-x1

+log3

3 x2

1-x2

=log3

3x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=1…4分

（2）由（1）知当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．

∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)…+f(

n-1

n

)①，Sn=f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)②

①+②得Sn=

n-1

2

…8分

∴

lim

n→∞

4Sn-9Sn

4Sn+1+9Sn+1

=

lim

n→∞

2n-1-3n-1

2n+3n

=-

1

3

…12分

（3）当n≥2时，an=

1

4× n+1 2 • n+2 2

=

1

n+1

-

1

n+2

．

又当n=1时，a1=

1

6

，所以an=

1

n+1

-

1

n+2

…14分

故Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

n

2(n+2)

…16分

∵T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，即m＞

Tn

Sn+1+1

=

n

(n+2)2

恒成立

又

n

(n+2)2

=

1

n+ 4 n +4

≤

1

8

，所以m的取值范围是(

1

8

，+∞)…18分．