（Ⅰ）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，

令n=1，得2a₁=3 a₁-1，求得a₁=1，

令n=2，得2（a₁+a₂）=4a₂-1，求得a₂=

3

2

；

令n=3，得2（a₁+a₂+a₃）=5 a₃-1，求得a₃=2；

令n=4，得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=6 a₄-1，求得a₄=

5

2

．

由此猜想：a_n=

n+1

2

．  …

下面用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，a₁=

1+1

2

=1，命题成立．

（2）假设当n=k时，命题成立，即a_k=

k+1

2

，且2S_k=（k+2）a_k-1，则由2S_k+1=（k+3）a_k+1-1及S_k+1=S_k+a_k+1，得（k+3）a_k+1-1=2S_k+2a_k+1，即（k+3）a_k+1-1=[（k+2）a_k-1]+2a_k+1．则a_k+1=

(k+2)ak

k+1

=

k+2

2

，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N^*命题均成立．                        …（6分）

法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，令n=1，求得a₁=1．

∵2S_n=（n+2）a_n-1，

∴2S_n-1=（n+1）a_n-1-1．  

当n≥2时，两式相减得：2（S_n-S_n-1）=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，

即  2 a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1整理得，

an

an-1

=

n+1

n

． …（3分）

∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a₁=

n+1

n

•

n

n-1

•…•

4

3

•

3

2

•1=

n+1

2

．   

当n=1时，a_n=

1+1

2

，满足上式，

∴a_n=

n+1

2

．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，

则

1

an•an+2

=

4

(n+1)(n+3)

=2（

1

n+1

-

1

n+3

），

∴Tn=

1

a1•a3

+

1

a2•a4

+…+

1

an•an+2

=2[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）+（

1

n+1

-

1

n+3

）]

=2（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）．

∴

lim

n→∞

Tn=

5

3

．