（1）由于a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

，可得

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ，

∴

1

a1

=1，

1

a2

-

1

a1

=2，

1

a3

-

1

a2

=22，

1

a4

-

1

a3

=23，…，

1

an

-

1

an-1

=2n-1，

累加可得

1

an

=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，故有a_n=

1

2n-1

．

（2）A=

lim

n→+∞

3an

2an+1

=

lim

n→∞

3(2n+1-1)

2(2n-1)

=

lim

n→∞

3(2- 1 2n )

2(1- 1 2n )

=

3×2

2

=3，

而(1+

1

m

)m的通项公式为 T_r+1=

C

kn

•

1

mk

=

m(m-1)(m-2)…(m-k+1)

k!

•

1

mk

≤

1

k!

，

∴(1+

1

m

)m≤

1

0！

+

1

1！

+

1

2！

+

1

3!

+…+

1

m!

 

≤1+1+

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

m(m-1)

=1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

m-1

-

1

m

）

=1+1+（1-

1

m

）＜3，

故对任意m≥2，且 m∈N^*，都有A＞(1+

1

m

)m．