问题
解答题
| 已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，…，依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2010）-（S1+S2+…+S2010）． |
答案
（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]
于是an=an-1+m，bn=bn-1+m（n∈N*，n≥2）
又a1=0，b1=1，所以an=（n-1）m，bn=1+（n-1）m．
（2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[kan-1+m，kbn-1+m]，因m=2，则bn=kbn-1+2（n≥2）
假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
bn=4，则lim n→∞
bn=klim n→∞
bn-1+2，lim n→∞
得4=4k+2，则k=
符合．1 2
故存在k=
，使1 2
bn=4lim n→∞
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]
于是an=kbn-1+m，bn=kan-1+m（n∈N*，n≥2）
则bn-an=-k（bn-1-an-1）
又b1-a1=1，∴bn-an=（-k）n-1
∴Tn-Sn=n (k=-1)
(k＜0，k≠-1)1-(-k)n 1+k
进而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=2021055，(k=-1)
，(k＜0，k≠-1)2010+2011k-k2011 (1+k)2