问题
解答题
| 容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn， （ I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771） （Ⅱ）求an、bn的表达式，并求
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答案
（ I）∵b1=
(1 5
+4×1 5
)=1 20
，a1=2 25
(1 6
+5×2 25
)=1 5
；9 50
bn+1=
，an+1=an+4bn 5
(5an+bn+1)=1 6
；26an+4bn 30
∴an+1-bn+1=
(an-bn)，2 3
∴{an-bn}是q=
的等比数列，2 3
∴an-bn=
×(1 10
)n-1＜2 3
，1 100
∴n-1＞log2 3
=1 10
≈5.7，1 lg3-lg2
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=
[bn+1 5
×(1 10
)n-1+4bn]，2 3
∴bn+1-bn=
×(3 100
)n2 3
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
+2 25
×[3 100
+(2 3
)2+…+(2 3
)n-1]=-2 3
×(3 100
)n+2 3
，7 50
而an=bn+
×(1 10
)n-1=2 3
×(3 50
)n+2 3
；7 50
∴
an=lim n→∞
bn=lim n→∞ 7 50
．