问题 填空题
设(1+x+y)x的展开式的不含x项的系数和为ax,则
lim
x→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)
=______.
答案

(1+x+y)x=[(1+y)+x]x,其展开式的通项为Tr+1=Cxr•(1+y)x-r•xr

不含x的项为(1+y)x,令y=1,可得不含x项的系数和为2x,即ax=2x

1
ax
=(
1
2
x,则{
1
ax
}是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列,

1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
=(1-
1
2
n),

lim
x→∞
(
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
)=
lim
x→∞
(1-
1
2
n)=1;

故答案为1.

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