问题
解答题
已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn}满足b1=
（I）求数列{an}，{bn}的通项公式； （II）若cn=anbn（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn，求
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答案
（I）a1 =S1=
(a12+a1)，∴a1=1，1 2
n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(an2+an)-1 2
(an-12+an-1)，1 2
∴an2-an-12-an-an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∴an-an-1=1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
于是bn+1=bn+3n，∴bn+1-bn=3n，bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=
+3+32+…+3n-1=3 2
+3 2
=3-3n 1-3
．3n 2
（II）cn=
n•3n，1 2
∴Tn=
(1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=1 2
(1×32+2×33+…+n×3n+1)，1 2
∴2Tn=
(n•3n+1-3-32-…-3n)=1 2
(n•3n+1-1 2
)=3-3n+1 1-3
，(2n-1)•3n=1+3 4
Tn =
，(2n-1)•3n+1+3 8
∴lim n→∞
=Tn cn lim n→∞ (2n-1)•3n+1+3 8 n•3n 2
=lim n→∞ (2n-1)•3n+1+3 4n•3n
=
(lim n→∞
-3 2
+3 4n
• 3 4n
)=1 3n
．3 2