问题
问答题
设xOy平面第一象限中有曲线Γ：y=y(x)，过点
，y′(x)＞0. 又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段
的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为
(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程和初始条件；
(Ⅱ)求曲线Γ的表达式.
答案
参考答案：(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程
Y-y(x)=y′(x)(X-x)，
其中(X，Y)是切线上点的坐标，在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距
又弧段
的长度为
，按题意得
①
这是积分、微分方程，两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：
，即
又由条件及①式中令x=0得
，y′(0)=1.
因此得初值问题
②
问题①与②是等价的.
(Ⅱ)下面求解②. 这是不显含x的二阶方程，作变换p=y′，并以y为自变量得
由
时
改写成
将上面两式相减
再积分得
③
其中
则③就是所求曲线，的表达式.
解析：不显含x的二阶方程y″=f(y，y′)的解法是：降阶法——以
为新的未知函数，y为自变量，将
代入方程即可降阶.