问题
解答题
已知数列{an}中，a1=
（1）求证{bn}为等比数列； （2）求{bn}的通项公式； （3）设数列{an}的前n项和为Sn，求
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答案
证明：（1）bn+1=an+2-
an+1=1 2
an+1+(1 3
)n+2-1 2
[1 2
an+(1 3
)n+1]=1 2
（an+1-1 3
an）=1 2
bn1 3
若bn=0，则an+1=
an，可得出1 2
an=1 2
an+(1 3
)n+1，解得an=3×(1 2
)n1 2
∴a1=
，不满足条件，故3 2
=bn+1 bn
，即数列{bn}是等比数列；1 3
（2）b1=a2-
a1=1 2
a1+(1 3
)2-1 2
a1=1 2
，∴bn=(1 9
)n+11 3
（3）an+1-
an=bn=(1 2
)n+1，又an+1=1 3
an+(1 3
)n+11 2
∴
an+(1 3
)n+1-1 2
an=(1 2
)n+1，∴an=3×(1 3
)n-2×(1 2
)n1 3
Sn=3[
+1 2
+1 4
+…+(1 8
)n]-1 2
[1 2
+1 3
+1 9
+…+(1 27
)n]1 3
=3×
-2×
×[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
×[1-(1 3
)n]1 3 1- 1 3
=(
)n-3×(1 3
)n+21 2
∴
Sn=2lim n→∞