问题
解答题
在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”，
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{an}中，a20=3，a21=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。
答案
（Ⅰ）解：
（答案不惟一）；
（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{an}中，a20=3，a21=0，
所以自第20项开始，该数列是
，
即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，
所以当n→∞时，an的极限不存在；
当n≥20时，
，所以
。
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项。
证明如下：假设{an}中没有零项，由于
，
所以对于任意的n，都有
，
从而当
时，
；
当
时，
；
即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1，
令
，n=1，2，3，…，
则
2，3，4，…），
由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1＜0，这与cn＞0（n=1，2，3，…）矛盾，
从而{an}必有零项，
若第一次出现的零项为第n项，记
，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即
，
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项。