参考答案：[证明一] 利用f(x)=f(0)+f’(ξ₁)(x-0)=f(0)+f’(ξ₁)x可得因f’(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在m和M，使m≤f’(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf’(ξ₁)≤Mx，故
[*]
即[*]
由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得[*]即[*]，于是
[*]
[证明二] [*]
因为f’(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a])，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得
[*]
于是[*]
[证明三] 令[*]则F(x)可用麦克劳林公式表示为
[*]
即[*]
令x=a得[*]

解析：

[分析]： 所给问题为f(x)的定积分与f’(ξ)之间的关系．可以考虑成原函数与F"(ξ)之间的关系，从而可利用二阶泰勒公式来证明．
如果认定为考察f(x)与f’(ξ)之间关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．
也可以利用积分中值定理[*]来证明．