问题
填空题
已知α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解，其中
2α1-α2=[0，2，2，2]T，
α1+α2+α3=[4，-1，2，3]T，
2α2+α3=[5，-1，0，1]T，秩r(A)=2，那么方程组AX=b的通解是______．
答案
参考答案：[0，2，2，2]T+k1[-1，0，2，2]T+k2[-5，7，6，5]T，
解析： 利用方程组解的结构及其性质求之．
因为n-r(A)=4-2=2，所以方程组AX=b的通解形式为
α+k1η1+k2η2，
其中α为AX=b的特解，η1，η2为AX=0的基础解系．
因此，下面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无关的解．
根据解的性质知，
2α1-α2=α1+(α1-α2)=[0，2，2，2]T是AX=b的解．而
(α1+α2+α3)-(2α2+α3)=α1-α2=[-1，0，2，2]T
是AX=0的解．
3(2α1-α2)-(2α2+α3)=5(α1-α2)+(α1-α3)=[-5，7，6，5]T是AX=0的解．显然[-1，0，2，2]T与[-5，7，6，5]T线性无关(对应分量不成比例)．
因此，方程组AX=b的通解为
[0，2，2，2]T+k1[-1，0，2，2]T+k2[-5，7，6，5]T，其中k1，k2为任意常数．