问题
问答题
(Ⅰ) 已知(x2+2x)y’+y=0，求通解；
(Ⅱ) 已知xy’=y(1+lny-lnx)，求通解；
(Ⅲ) 已知
，求通解及满足y(0)=1的特解；
(Ⅳ) 求微分方程
的通解及满足y(1)=1的特解；
(Ⅴ) 已知
分别有解
求方程
满足y(0)=1的特解；
(Ⅵ) 已知
有特解
，求该方程的通解．
答案
参考答案：[解] 先判断方程的类型，然后再按照方程的类型采用相应的方法求解．
(Ⅰ) 这是可分离变量方程．分离变量得
积分得
整理即得通解xy2=C(x+2)，C为任意常数．
(Ⅱ) 方程可写为
这是齐次方程．于是令
(即y=ux)，方程变成关于u与x的可分离变量方程
分离变量得
积分得 ln|lnu|=lnx+C1，即 lnu=Cx，解出得u=eCx．
因此原方程通解为 y=xeCx，C为任意常数．
(Ⅲ) 这是一阶线性方程，两边乘
得
积分得
即原方程的通解为
其中C为任意常数．令x=0，由y(0)=1 可得 C=4．
因此，满足y(0)=1的特解为
(Ⅳ) 方法1° 两边乘以y4后并改写成
这是齐次方程．令
，原方程变成可分离变量的方程
分离变量得
积分得
代入
，得通解
，其中C为
常数．
令x=1，y=1得C=0，于是得满足y(1)=1的特解y=x．
方法2° 易凑微分将方程改写成
由微分法则得
因此，通解为
，其中C为
常数．
同前得特解．
(Ⅴ) 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为
由y(0)=1
C=-1．因此特解为
．
(Ⅵ) 由一阶线性方程解的叠加原理
从而
是相应齐次方程
的非零特解．
是原非齐次方程的一个特解．因此原方程的通解是