问题
问答题
设α=[1，2，3，4]T，β=[3，-2，-1，1]T，A=αβT．
(1)求A的特征值，特征向量；
(2)问A能否相似于对角阵，说明理由．
答案
参考答案：方法一 [*]
[*]
[*]
故A有特征值λ=0(四重根)．
当λ=0时，由(λE-A)X=0，即AX=0，AX=0的同解方程为
3x1-2x2-x3+x4=0．
因 r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，(α≠0)
A≠0，故r(A)=1．
故λ=0为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故A不能相似于对角阵．
方法二 r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又A≠0，故r(A)=1，|A|=0．
故A有特征值λ=0．对应的特征向量满足(0E-A)X=0，
即AX=αβTX=0，其同解方程组为3x1-2x2-x3+x4=0．
解得对应的特征向量为
ξ1=[2，3，0，0]T，ξ2=[1，0，3，0]T，ξ3=[1，0，0，-3]T
A的对应于λ=0的全体特征向量为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为不同时为零的任意常数．
故知λ=0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ4
由[*]，得λ4=0，
故λ=0是四重特征值，但对应的线性无关特征向量只有3个．
故A不能相似于对角阵．