设α1，α2，…，αn是n个n维向量，且已知 α1x1+α2x2+…+αnxn=0

问题多项选择题

设α₁，α₂，…，α_n是n个n维向量，且已知
α₁x₁+α₂x₂+…+α_nx_n=0 (Ⅰ)
只有零解．
问方程组
(α₁+α₂)x₁+(α₂+α₃)x₂+…+(α_n-1+α_n)x_n-1+(α_n+α₁)x_n=0 (Ⅱ)
何时只有零解说明理由；何时有非零解有非零解时，求出其通解．

答案

参考答案：α_Ax_A+α_Bx_B+…+α_nx_n=0只有零解[*]r(α_A，α_B，…，α_n)=n[*]α_A，α_B，…，α_n线性无关．
(α_A+α_B，α_B+α_C，…，α_n-A+α_n，α_n+α_A)=[α_A，α_B，…，α_n]
[*]
记成B=AC，其中r(A)=r(α_A，α_B，…，α_n)=n．
[*]
①当n=Bk+A时，|C|=B≠0，r(B)=r(A)=n，方程组(Ⅱ)只有零解．
②当n=Bk时，|C|=0，C中有n-A阶子式C_n-A,n-A=A≠0，因r(A)=n，故r(B)=r(C)=n-A．方程组(Ⅱ)有非零解，其基础解系由一个非零解组成。
因(α_A+α_B)-(α_B+α_C)+(α_C+α_D)-…+(α_Bk-A+α_Bk)-(α_Bk+α_A)=0，
方程组(Ⅱ)有通解k[A，-A，A，-A，…．A，-A]^T，其中k是任意常数．
或因A可逆ACX=BX=0和CX=0同解，
其中，[*]
r(B)=r(C)=Bk-A，BX=0有通解．
[A，-A，A，-A，…，-A]，k是任意常数．