问题
问答题
设A为n阶矩阵，α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，证明：r(A)]n
Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关．
答案
参考答案：“[*]”：记B=(α1，α2，…，αn)，
则 |(Aα1，Aα2，…，Aαn)|=| A(α1，α2，…，αn)|=|AB|=|A||B|．
由r(A)=n，α1，α2，…，αn线性无关知，|A|≠0，|B|≠0，从而|AB|≠0，即Aα1，Aα2，…，Aαn线性无关．
“[*]”：因Aα1，Aα2，Aαn线性无关，故其所构成的行列式不为零，即
|(Aα1，Aα2，…，Aαn)|=|A(α1，α2，…，αn)|=|A|| (α1，α2，…，an)|≠0，
从而 |A|≠0，
故 r(A)=n．
解析：
[分析]： 判断n个n维向量的线性相关性，利用矩阵的行列式较为简便．