问题
解答题
已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{an2}各项的和为
（1）求数列{an}的首项a1和公比q； （2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T（k）是首项为ak，公差为2ak-1的等差数列，求T（2）的前2007项之和； （3）（理）设bi为数列T（i）的第i项，Sn=b1+b2+…+bn： ①求Sn的表达式，并求出Sn取最大值时n的值． ②求正整数m（m＞1），使得
（文）设bi为数列T（i）的第i项，Sn=b1+b2+…+bn：求Sn的表达式，并求正整数m（m＞1），使得
|
答案
（1）依题意可知，
⇒
=9a1 1-q
=a21 1-q2 81 5
．a1=3 q= 2 3
（2）由（1）知，an=3×(
)n-1，所以数列T（2）的首项为t1=a2=2，公差d=2a2-1=3，S2007=2007×2+2 3
×2007×2006×3=6043077，即数列的前2007项之和为6043077．1 2
（3）（理）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=3(2i-1)(
)i-1-(i-1)；2 3
①Sn=45-(18n+27)(
)n-2 3
；n(n-1) 2
由
，解得n=2，bn≥bn-1 bn≥bn+1
计算可得b1=3，b2=5，b3=
，b4=14 3
，b5=29 9
，b6=-4 3
＜0，53 81
因为当n≥2时，bn＞bn+1，所以Sn当n=5时取最大值．
②lim n→∞
=Sn nm lim n→∞
-45 nm
(18n+27 nm
)n-2 3
，n(n-1) 2nm
当m=2时，lim n→∞
=-Sn nm
，当m＞2时，1 2 lim n→∞
=0，所以m=2．Sn nm
（文）bi=ai+（i-1）（2ai-1）=（2i-1）ai-（i-1）=3(2i-1)(
)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(2 3
)n-2 3
；n(n-1) 2 lim n→∞
=Sn nm lim n→∞
-45 nm
(18n+27 nm
)n-2 3
，n(n-1) 2nm
当m=2时，lim n→∞
=-Sn nm
，当m＞2时，1 2 lim n→∞
=0，所以m=2．Sn nm