（文）已知向量a=(x2+1，-x)，b=(1，2n2+1) （n为正整数），函

问题解答题

（文）已知向量

=(x2+1，-x)，

=(1，2

n2+1

) （n为正整数），函数f(x)=

•

，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率．

答案

（1）f（x）=

•

= (x2+1，-x)• (1，2

n2+1

)=x²-2

n2+1

x+1（2分）

抛物线的顶点横坐标为x=

n2+1

＞0，

开口向上，在（0，+∞）上当x=

n2+1

时函数取得最小值，所以an=

n2+1

；（4分）

（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．

是首项为3，公差为2的等差数列，

所以：S_n=

n(3+2n+1)

=n²+2n；

∴

n2+2n

n(n-1)

2n+4

n-1

．

∴

lim

n→∞

=2．

（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），

∴k=

a20102-a20082

2010-2008

20102+1-(20082+1)

2010-2008

=4018．