问题
解答题
| 已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn． （1）若{an}，{bn}为等差数列，求证：
（2）将（1）中的数列{an}，{bn}均换作等比数列，请给出使
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答案
（1）证明：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2（d1，d2均不为0），则lim x→∞
=an bn lim x→∞
=a1+(n-1)d1 b1+(n-1)d2
，…（4分）d1 d2 lim x→∞ Sn Tn lim x→∞
=na1+
d1n(n-1) 2 nb1+
d2n(n-1) 2
，d1 d2
所以lim x→∞
=an bn lim x→∞
．…（8分）Sn Tn
（2）设{an}，{bn}的公比分别为q1，q2（q1，q2均为不等于1的正数），则lim n→∞
=an bn lim n→∞
=a1q1n-1 b1q2n-1 a1 b1
(lim n→∞
)n-1=q1 q2
…（11分）
(q1=q2)a1 b1 0(q1＜q2). lim n→∞
=Sn Tn a1(1-q2) b1(1-q1) lim n→∞
=1-q1n 1-q2n
…（14分）
(q1=q2)a1 b1
(0＜q1＜1，0＜q2＜1)a1(1-q2) b1(1-q1) 0(0＜q1＜q2，q2＞1).
所以使lim x→∞
=an bn lim x→∞
成立的条件是0＜q1＜q2，q2＞1或q1=q2．…（16分）Sn Tn