过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点.
(1)求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
(2)求四边形ACBD的面积的最小值.
(1)F为极点,FX为极轴,建立极坐标系,
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=
…3’2 1-cosθ
设A(ρ1,θ),则B(ρ2,π+θ)
∴|AB|=ρ1+ρ2=
+2 1-cosθ
=2 1-cos(π+θ)
…2’4 sin2θ
同理|CD|=
=4 sin2(θ+
)π 2
…2’4 cos2θ
∴|AB|+|CD|=
+4 sin2θ
=4 cos2θ
=4 sin2θcos2θ
…2’16 sin22θ
故当θ=
时,|AB|+|CD|取最小值16,此时AB、CD的倾斜角分别为π 4
,π 4
.3π 4
(2)SABCD=
|AB|.|CD|=1 2
=8 sin2θcos2θ
…2’32 sin22θ
易知:当θ=
时,(SABCD)min=32π 4
注:若以直角坐标系求解可同样给分…4’