问题
解答题
过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点．
（1）求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小
（2）求四边形ACBD的面积的最小值．
答案
（1）F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=
…3’2 1-cosθ
设A（ρ1，θ），则B（ρ2，π+θ）
∴|AB|=ρ1+ρ2=
+2 1-cosθ
=2 1-cos(π+θ)
…2’4 sin2θ
同理|CD|=
=4 sin2(θ+
)π 2
…2’4 cos2θ
∴|AB|+|CD|=
+4 sin2θ
=4 cos2θ
=4 sin2θcos2θ
…2’16 sin22θ
故当θ=
时，|AB|+|CD|取最小值16，此时AB、CD的倾斜角分别为π 4
，π 4
．3π 4
（2）SABCD=
|AB|．|CD|=1 2
=8 sin2θcos2θ
…2’32 sin22θ
易知：当θ=
时，（SABCD）min=32π 4
注：若以直角坐标系求解可同样给分…4’