问题 解答题

过抛物线y2=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD交抛物线于A、B、C、D四点.

(1)求当|AB|+|CD|取最小值时直线AB、CD的倾斜角的大小

(2)求四边形ACBD的面积的最小值.

答案

(1)F为极点,FX为极轴,建立极坐标系,

则抛物线的极坐标方程可写为ρ=

2
1-cosθ
…3’

设A(ρ1,θ),则B(ρ2,π+θ)

|AB|=ρ1+ρ2=

2
1-cosθ
+
2
1-cos(π+θ)
=
4
sin2θ
…2’

同理|CD|=

4
sin2(θ+
π
2
)
=
4
cos2θ
…2’

|AB|+|CD|=

4
sin2θ
+
4
cos2θ
=
4
sin2θcos2θ
=
16
sin2
…2’

故当θ=

π
4
时,|AB|+|CD|取最小值16,此时AB、CD的倾斜角分别为
π
4
4

(2)SABCD=

1
2
|AB|.|CD|=
8
sin2θcos2θ
=
32
sin2
…2’

易知:当θ=

π
4
时,(SABCDmin=32

注:若以直角坐标系求解可同样给分…4’

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