问题
解答题
数列{xn}由下列条件确定：x1=a＞0，xn+1=
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn≥xn+1； （Ⅲ）若数列{xn}的极限存在，且大于零，求
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答案
证明：（Ⅰ）由x1=a＞0，及xn+1=
(xn+1 2
)，a xn
可归纳证明xn＞0．
从而有xn+1=
(xn+1 2
)≥a xn
=xn• a xn
（n∈N），a
所以，当n≥2时，xn≥
成立．a
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为xn≥
＞0，xn+1=a
(xn+1 2
)a xn
所以xn+1-xn=
(xn+1 2
)-xn=a xn
•1 2
≤0，a- x 2n xn
故当n≥2时，xn≥xn+1成立．
证法二：当n≥2时，因为xn≥
＞0，xn+1=a
(xn+1 2
)，a xn
所以
=xn+1 xn
=
(xn+1 2
)a xn xn
≤
+ax 2n 2 x 2n
=1，
+x 2n x 2n 2 x 2n
故当n≥2时，xn≥xn+1成立．
（Ⅲ）记
xn=A，则lim n→∞
xn+1=A，且A＞0．lim n→∞
由xn+1=
(xn+1 2
)，得A=a xn
(A+1 2
)．a A
由A＞0，解得A=
，故a
xn=lim n→∞
．a