问题
解答题
（理）已知向量
（1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
（3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由． |
答案
（1）f（x）=(x2+1)-2x
…（2分）n 2+1
函数y=f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x=
＞0，n2+1
开口向上，在（0，+∞） 上，当x=
时函数取得最小值，n2+1
所以an=
；…（4分） n2+1
（2）将（1）中{an}的表达式代入，得bn=
=1 4(n2+1)-5
=1 4n2-1
=1 (2n+1)(2n-1)
[1 2
-1 2n-1
]．…（6分）1 2n+1
∴Sn=
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]，…（8分） 1 2n+1
所以所求的极限为：
Sn=lim n→∞ lim n→∞
(1-1 2
)=1 2n+1
；…（10分）1 2
（3）任取Ai、Aj（i、j∈N*，i≠j），设AiAj 所在直线的斜率为kij，
则 kij=
=ai-aj i-j
=
-i2+1 j2+1 i-j
=i2-j2 (i-j)(
+i2+1 j2+1)
＜1．i+j
+i2+1 j2+1
因此不存在满足条件的数对（i，j），使直线AiAj的斜率为1．…（16分）