由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An

∵函数 f(x)=

2

x+2

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

与向量

i

=(1，0)的夹角，

∴tanθ_n=

f(n)

n

=

2

n×(n+2)

=

2

2

(

1

n

-

1

n+2

)，

∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

2

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)

∴

lim

n→∞

Sn=

3 2

4

故答案为

3

4

2

．