由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An，

又有f(x)=

1

x+2

，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），

向量

an

与向量

i

=(1，0)的夹角为θ_n即线段A₀A_n与x轴夹角也为θ_n，

由此可知tanθ_n=

f(n)

n

=

1 n+2

n

=

1

n×(n+2)

，

又设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，

由tanθ_n=

1

n×(n+2)

=（

1

n

-

1

n+2

）×

1

2

，

利用数列裂项相消求和公式可得：

S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

×（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）．

∴

lim

n→∞

Sn=

3

4

．

故答案为：

3

4

．