问题
解答题
定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（
（1）已知函数f（x）=
（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由； （3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限
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答案
（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（
）≤x1+x2 2
成立f(x1)+f(x2) 2
设x1≤0≤x2，且
＜0，x1+x2 2
∵
-f（f(x1)+f(x2) 2
）=x1+x2 2
(1 2
x1+x2)-1 2
•1 2
=x1+x2 2
≥0x2 4
∴f（
）≤x1+x2 2
成立f(x1)+f(x2) 2
设x1≤0≤x2，且
≥0，x1+x2 2
∵
-f（f(x1)+f(x2) 2
）=x1+x2 2
(1 2
x1+x2)-1 2
•1 2
=x1+x2 2
≥0-x1 4
∴f（
）≤x1+x2 2
成立f(x1)+f(x2) 2
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x2，f（x）∉M
取x1=-1，x2=1，则
=-1，f（f(x1)+f(x2) 2
）=0x1+x2 2
此时f（
）≤x1+x2 2
不成立；f(x1)+f(x2) 2
（3）f（x）=
满足f（x）∈M，且x2，x≥1 x，x＜1 lim n→∞
=f(n) n2 lim n→∞
=1，n2 n2 lim n→∞
=f(-n) -n lim n→∞
=1．-n -n