问题
解答题
定义x1,x2,…,xn的“倒平均数”为
(1)若数列{an}前n项的“倒平均数”为
(2)设数列{bn}满足:当n为奇数时,bn=1,当n为偶数时,bn=2.若Tn为{bn}前n项的倒平均数,求
(3)设函数f(x)=-x2+4x,对(1)中的数列{an},是否存在实数λ,使得当x≤λ时,f(x)≤
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答案
(1)设数列{an}的前n项和为Sn,
由题意,Tn=
=n Sn
,1 2n+4
所以Sn=2n2+4n. …(1分)
所以a1=S1=6,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n+2,
而a1也满足此式.…(2分)
所以{an}的通项公式为an=4n+2.…(1分)
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,则当n为偶数时,Sn=
,…(1分)3n 2
当n为奇数时,Sn=
+1=3(n-1) 2
. …(1分)3n-1 2
所以Tn=
. …(3分)
,n为奇数2 3
,n为偶数2n 3n-1
所以
Tn=lim n→∞
. …(2分)2 3
(3)假设存在实数λ,使得当x≤λ时,f(x)≤
对任意n∈N*恒成立,an n+1
则-x2+4x≤
对任意n∈N*恒成立,…(1分)4n+2 n+1
令cn=
,因为cn+1-cn=4n+2 n+1
>0,2 (n+1)(n+2)
所以数列{cn}是递增数列,…(1分)
所以只要-x2+4x≤c1,即x2-4x+3≥0,
解得x≤1或x≥3.…(2分)
所以存在最大的实数λ=1,
使得当x≤λ时,f(x)≤
对任意n∈N*恒成立.(2分)an n+1