问题 解答题
定义x1,x2,…,xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
(n∈N*).
(1)若数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+4
,求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足:当n为奇数时,bn=1,当n为偶数时,bn=2.若Tn为{bn}前n项的倒平均数,求
lim
n→∞
Tn

(3)设函数f(x)=-x2+4x,对(1)中的数列{an},是否存在实数λ,使得当x≤λ时,f(x)≤
an
n+1
对任意n∈N*恒成立?若存在,求出最大的实数λ;若不存在,说明理由.
答案

(1)设数列{an}的前n项和为Sn

由题意,Tn=

n
Sn
=
1
2n+4

所以Sn=2n2+4n.  …(1分)

所以a1=S1=6,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n+2,

而a1也满足此式.…(2分)

所以{an}的通项公式为an=4n+2.…(1分)

(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,则当n为偶数时,Sn=

3n
2
,…(1分)

当n为奇数时,Sn=

3(n-1)
2
+1=
3n-1
2
.  …(1分)

所以Tn=

2
3
,n为奇数
2n
3n-1
,n为偶数
.   …(3分)

所以

lim
n→∞
Tn=
2
3
. …(2分)

(3)假设存在实数λ,使得当x≤λ时,f(x)

an
n+1
对任意n∈N*恒成立,

则-x2+4x≤

4n+2
n+1
对任意n∈N*恒成立,…(1分)

cn=

4n+2
n+1
,因为cn+1-cn=
2
(n+1)(n+2)
>0

所以数列{cn}是递增数列,…(1分)

所以只要-x2+4x≤c1,即x2-4x+3≥0,

解得x≤1或x≥3.…(2分)

所以存在最大的实数λ=1,

使得当x≤λ时,f(x)

an
n+1
对任意n∈N*恒成立.(2分)

选择题
单项选择题