（1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由题意得

n

Sn

=

1

2n+4

，所以S_n=2n²+4n，…（1分）

当n=1时，a₁=S₁=6，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n+2，而a₁也满足此式．

所以a_n=4n+2（n∈N^*）．…（1分）

所以c_n=

an

n+1

=4-

2

n+1

，…（1分）

∴c_n+1-c_n=

2

n+1

-

2

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

＞0，因此c_n＜c_n+1．…（1分）

（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立，

即-x²+4x≤c_n对任意n∈N^*恒成立，…（2分）

由（1）知数列{c_n}是递增数列，所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，（2分）

解得x≤1或x≥3．…（1分）

所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．…（1分）

（3）由b₁=1，b₂=b，得b₃=|b-1|，…（1分）

①若b≥1，则b₃=b-1，b₄=|b₃-b₂|=1，b₅=|2-b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₅=b₂=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．

此时，{b_n}为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．…（1分）

②若b＜1，则b₃=1-b，b₄=|b₃-b₂|=|1-2b|，因为{b_n}是周期为3的周期数列，故b₄=b₁=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合题意．…（1分）

设数列{b_n}的前n项和为S_n，则对n∈N^*，有S_n=

2k，n=3k 2k，n=3k-1 2k-1，n=3k-2

…（1分）

即S_n=

2n 3 ，n=3k 2n+2 3 ，n=3k-1 2n+1 3 ，n=3k-2

，

所以T_n=

3 2 ，n=3k 3n 2n+2 ，n=3k-1 3n 2n+1 ，n=3k-2

，

因此

lim

n→∞

T_n=

3

2

．（2分）