问题 解答题

在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2(n∈N*).

(1)设bn=an+2,求数列{bn}的通项公式;

(2){an}中是否存在不同的三项ap,aq,ar(p,q,r∈N*)恰好成等差数列?若存在,求出p,q,r的关系;若不存在,说明理由.

答案

解:(1)bn+1=an+1+2=(2an+2)+2=2(an+2)=2bn

又b1=a1+2=2,

所以,数列{bn}是首项为2、公比为2的等比数列,

所以数列{bn}的通项公式为bn=2n

(2)由(1)得an=2n﹣2.

假设{an}中是否存在不同的三项ap,aq,ar(p,q,r∈N*)恰好成等差数列,

不妨设p<q<r,则(2p﹣2)+(2r﹣2)=2(2q﹣2),

于是2p+2r=2q+1

所以1+2r﹣p=2q﹣p+1

因p,q,r∈N*,且p<q<r,

所以1+2r﹣p是奇数,2q﹣p+1是偶数,

1+2r﹣p=2q﹣p+1不可能成立,

所以不存在不同的三项ap,aq,ar成等差数列.

单项选择题
单项选择题