已知{an}为等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和

问题解答题

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₅=256；S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈．

（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，求T_n．

答案

解：（1）设{a_n}的公比为q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n﹣1．

设{b_n}的公差为d，由5S₅=2S₈

得5（5b₁+10d）=2（8b₁+28d），，

所以b_n=b₁+（n﹣1）d=3n﹣1．

（2）T_n=1·2+4·5+4²·8++4^n﹣1（3n﹣1），

①4T_n=4·2+4²·5+4³·8++4ⁿ（3n﹣1），

②②﹣①得：3T_n=﹣2﹣3（4+4²++4ⁿ）+4ⁿ（3n﹣1）

=﹣2+4（1﹣4^n﹣1）+4ⁿ（3n﹣1）

=2+（3n﹣2）·4ⁿ

∴T_n=（n﹣）4ⁿ+