问题
解答题
设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且|
|
答案
（1）设N（x，y），则由
=2MN
得P为MN的中点，MP
所以M(-x，0)，P(0，
)…（1分）y 2
又
⊥PM
，∴PF
•PM
=0PF
∵
=(-x，-PM
)，y 2
=(1，-PF
)，…（3分）y 2
∴y2=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即|P0F|=x0+
…（6分）p 2
故|
|=x1+AF
，|p 2
|=x2+BF
，|p 2
|=x3+DF
，p 2
又|
|，|AF
|，|BF
|成等差数列DF
∴x1+x3=2x2…（7分）
∵直线AD的斜率KAD=
=y3-y1 x3-x1
=y3-y1
-y 23 4 y 21 4
…（9分）4 y1+y3
∴AD的中垂线方程为y=-
(x-3)…（10分）y1+y3 4
又AD的中点(
，x1+x3 2
)在直线上，代入上式，得y1+y3 2
=1⇒x2=1…（11分）x1+x3 2
故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）