问题
解答题
（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是
（Ⅰ）求曲线C普通方程； （Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
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答案
（Ⅰ）∵直线l的参数方程是
（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．x=3+t y=-1-t
∵曲线C的参数方程是
（φ为参数，a＞0），消去参数φ得x=acosφ y=
sinφ3
+x2 a2
=1，y2 3
把点（2，0）代入上述方程得a=2．
∴曲线C普通方程为
+x2 4
=1．y2 3
（Ⅱ）∵点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
)，C(ρ3，θ+2π 3
)在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B(ρ2cos(θ+4π 3
)，ρ2sin(θ+2π 3
))，C(ρ3cos(θ+2π 3
)，ρ3sin(θ+4π 3
))在曲线C上，4π 3
∴
+1 |OA|2
+1 |OB|2
=1 |OC|2
+1 ρ12
+1 ρ22
=1 ρ32
(cos2θ+cos2(θ+1 4
)+cos2(θ+2π 3
))+4π 3
(sin2θ+sin2(θ+1 3
)+sin2(θ+2π 3
))4π 3
=
(1 4
+1+cos2θ 2
+1+cos(2θ+
)4π 3 2
)+1+cos(2θ+
)8π 3 2
(1 3
+1-cos2θ 2
+1-cos(2θ+
)4π 3 2
)1-cos(2θ+
)8π 3 2
=
+3+cos2θ-cso(2θ+
)+cos(2θ-π 3
)π 3 8 3-cos2θ+cos(2θ+
)-cos(2θ+π 3
)2π 3 6
=
+3 8
=3 6
．7 8