∵a_n=2ⁿ，

∴数列{a_n}是以2首项，公比为2的等比数列，

∴a₁=2．a₂=4．a₃=8

知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．

∵a₃=8=3×2+2，

∴a₃是数列{b_n}中的第2项，

设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2（k、m∈N^*）．

∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，

∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．

∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，

∴a_k+2是数列{b_n}中的项．

∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，

∴数列{c_n}的通项公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

故答案为：2²ⁿ⁺¹．