问题
解答题
| 已知数列{xn}满足下列条件：x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数． （Ⅰ）当λ＞0时，证明：xn+1＞xn（n∈N*）； （Ⅱ）当|λ|＜1时，求
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答案
（Ⅰ）证明：∵xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），λ为非零常数，
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴xn+1-xn＞0，
即xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）∵x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa，
即xn+1-λxn=b-λa，
∴λxn=xn+1-（b-λa），①
∵xn+1＞xn（n∈N*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）xn=b-λa-（b-a）•λn-1，
∴xn=
，b-λa-(b-a)•λn-1 1-λ
∵|λ|＜1，
∴
λn-1=0，lim n→∞
∴
xn=lim n→∞ lim n→∞
=b-λa-(b-a)•λn-1 1-λ
．b-λa 1-λ