已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=qq-1(an-1)（q是常数

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足Sn=

q-1

(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当q=

时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜

；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使

+…+

≥

对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

q-1

(an-1)-

q-1

（a_n-1-1）（2分）

⇒

an-1

=q（2分）

又由S₁=a₁=

q-1

（a₁-1）得a₁=q（3分）

∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ（5分）

（2）a1+a2+an=

[1-(

)n]

（7分）

[1-(

)n]＜

（9分）

（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

（9分）

∴

=2(1-

n+1

)=2(1-

n+1

)（11分）

∴2(1-

n+1

)≥

，即m≤6(1-

n+1

)

∵n=1时[6(1-

n+1

)]min=3，

∴m≤3（14分）

∵m是正整数，

∴m的值为1，2，3．（16分）