证明：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）

则

MF

=（c-x₁，-y₁），

FN

=（x₂-c，y₂），

当λ=1时，

MF

=

FN

∴c-x₁=x₂-c且-y₁=y₂

∴x₁+x₂=2c且-y₁=y₂

∵M、N两点在椭圆C上，

∴

x

21

=a2(1-

y 21

b2

)，

x

22

=a2(1-

y 22

b2

)

故

x

21

=

x

22

，即|x₁|=|x₂|，由x₁+x₂=2c可得x₁=x₂=c

∴

MN

=（0，2y₂），

AF

=（c+4，0）

∴

MN

•

AF

=0

∴

MN

⊥

AF

；

（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），

AM

•

AN

=（c+4）²-

b4

a2

=

106

3

，

因为a²=

3

2

，b2=

1

2

c2，

∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，

∴c=2，a²=6，b²=2，

故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．

（III）

AM

•

AN

×tan∠MAN=|

AM

|•|

AN

|•sin∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|

当直线MN与x轴垂直时，|y₁-y₂|=

2 6

3

，

|AF||y₁-y₂|=6×

2 6

3

=4

6

不满足条件

当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）

由

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0

∴|y₁-y₂|=

24k4+24k2

1+3k2

∴6×

24k4+24k2

1+3k2

=6

3

即k⁴-2k²+1=0

∴k²=1，解得k=±1

故直线MN的方程为：y=±（x-2）

即x-y-2=0或x+y-2=0