问题 解答题
等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=2x+r(其中r为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(11)记bn=2(log2an+1)(n∈N+
证明:对任意的n∈N+,不等式
b1+1
b1
b2+1
b2
bn+1
bn
n+1
成立.
答案

(1)因为对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=2x+r(其中r为常数)的图象上

所以得Sn=2n+r,

当n=1时,a1=S1=2+r,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+r-(2n-1+r )=2n-1

又因为{an}为等比数列,所以公比为2,r=-1,

(2)由(1)知,an=2n-1

∴bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n

bn+1
bn
=
2n+1
2n

所以

b1+1
b1
b2+1
b2
bn+1
bn
=
3
2
5
4
2n+1
2n

下面用数学归纳法证明不等式

3
2
5
4
2n+1
2n
n+1
成立.

①当n=1时,左边=

3
2
,右边=
2
,因为
3
2
2
,所以不等式成立.

②假设当n=k时不等式成立,即

3
2
5
4
2k+1
2k
k+1
成立.

则当n=k+1时,左边=

3
2
5
4
2k+1
2k
2k+3
2k+2
k+1
2k+3
2k+2
=
(2k+3)2
4(k+1)
=
(k+1)+1+
1
4(k+1)
k+2

所以当n=k+1时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

∴不等式

b1+1
b1
b2+1
b2
bn+1
bn
n+1
成立.

单项选择题
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