问题
解答题
等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn),均在函数y=2x+r(其中r为常数)的图象上. (1)求r的值; (11)记bn=2(log2an+1)(n∈N+ 证明:对任意的n∈N+,不等式
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答案
(1)因为对任意的n∈N*,点(n,Sn),均在函数y=2x+r(其中r为常数)的图象上
所以得Sn=2n+r,
当n=1时,a1=S1=2+r,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+r-(2n-1+r )=2n-1,
又因为{an}为等比数列,所以公比为2,r=-1,
(2)由(1)知,an=2n-1,
∴bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n
则
=bn+1 bn
,2n+1 2n
所以
•b1+1 b1
…b2+1 b2
=bn+1 bn
•3 2
…5 4 2n+1 2n
下面用数学归纳法证明不等式
•3 2
…5 4
>2n+1 2n
成立.n+1
①当n=1时,左边=
,右边=3 2
,因为2
>3 2
,所以不等式成立.2
②假设当n=k时不等式成立,即
•3 2
…5 4
>2k+1 2k
成立.k+1
则当n=k+1时,左边=
•3 2
…5 4
•2k+1 2k
>2k+3 2k+2
•k+1
=2k+3 2k+2
=(2k+3)2 4(k+1)
>(k+1)+1+ 1 4(k+1) k+2
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
∴不等式
•b1+1 b1
…b2+1 b2
>bn+1 bn
成立.n+1