问题
解答题
已知等差数列{an}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{bn}满足a1=b1=a，a3=b3，a7=b5，
（1）求等比数列{bn}的公比q；
（2）记Mn=a1+a2+…+an，Nn=b1+b2+…+bn，试比较M5与N5的大小．
（3）若a=1，设数列cn=a2n+1•b2n+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
答案
（1）因为a1=b1，a3=b3，a7=b5，
所以，a1+2d=b1q2=aq2
a1+6d=b1q4=aq4，
变形得：a（1-q2）=-2d ①
a（1-q4）=-6d ②
②÷①得，1+q2=3
正项等比数列{bn}，
所以q2=2，
即，q=
．2
（2）由（1）可知d=
，a 2
M5=
=10a；5×(a+a+4d) 2
N5=
=a(1-(
)5)2 1- 2
=a((
)5-1)2
-12
，a(2
-1)2
-12
=M5 N5
=10a a(2
-1)2
-12
＞1，10(
-1)2 2
-12
M5＞N5．
（3）an=a+(n-1)
=a 2
(n+1)，bn=a•(a 2
)n-12
由题意若a=1，数列cn=a2n+1•b2n+1=（2n+2）•(
)2n=（n+1）•2n+1，2
Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1…①
2Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2…②
②-①得Sn=-2•22-3•23-24-…-2n+1+（n+1）•2n+2；
Sn=-4+（n+1）•2n+2-
=-4+（n+1）•2n+2+4（1-2n-1）=（n+1）•2n+2-2n+1．4(1-2n-1) 1-2