问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
（Ⅰ）证明数列{bn}为等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+sn-1恒成立，求实数λ的取值范围； （Ⅲ）令cn=
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答案
（Ⅰ）因为bn=a2n，由已知可得，
bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1=
+(2n+1)-1a2n+1 2
=
+2n=a2n+1 2
+2n=a2n-4n 2
a2n=1 2
bn．1 2
又a1=1，则b1=a2=
a1=1 2
．1 2
所以数列bn是首项和公比都为
的等比数列，1 2
故bn=
•(1 2
)n-1=(1 2
)n．1 2
∴数列{bn}为等比数列，并求其通项公式为：bn=(
)n，n∈N*．1 2
（Ⅱ）因为1+Sn-1=1+
+1 2
+…+1 22
=2-1 2n-1
＜2（n≥2）．1 2n-1
若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+Sn-1恒成立，
则λ≥2，故λ的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）因为cn=
=(n+1)((n+1)(
)n5 11 bn
)n，则10 11
cn+1-cn=(n+2)(
)n+1-(n+1)(10 11
)n=(10 11
)n[(n+2)10 11
-(n+1)]=(10 11
)n •10 11
．9-n 11
当n＜9时，cn+1-cn＞0，即cn＜cn+1；
当n=9时，cn+1-cn=0，即cn=cn+1；
当n＞9时，cn+1-cn＜0，即cn＞cn+1．
所以数列cn的最大项是c9或c10，
且c9=c10=
，故cn≤1010 119
．1010 119