问题
解答题
函数f（x）=cos2x+asinx+a+1，x∈R。
（Ⅰ）设函数f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，0]，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围。
答案
解：（Ⅰ）
，
①当
即
时，函数在sinx=-1处取得最小值，g（a）=1；
②当
即
时，函数在sinx=1处取得最小值，g（a）=2a+1，
综上，
。
（Ⅱ）对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，
只需
或
，
解得：
。
（Ⅲ）设
，
所以，
是一次函数，且斜率大于等于零，
要使任意的a∈[-2，0]，f(x)≥0恒成立，
只需：
，即
，
整理，得
，即
，
所以，x的取值范围是
。