问题 解答题
设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且
MP0
=
3
2
pp0

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线l过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.
答案

(Ⅰ)设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).

MP0
=(x0-x,-y),
PP0
=(0,-y0),且
MP0
=
3
2
PP0
,得(x0-x,-y)=
3
2
(0,-y0).

所以

x0-x=0
-y=-
3
2
y0
,于是
x0=x
y0=
2
3
y

x02+y02=4,所以x2+

4
3
y2=4.

所以,点M的轨迹C的方程为

x2
4
+
y2
3
=1.

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

联立

y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.

所以,△=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.①,且

x1+x2=-
8mk
3+4k2
x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

(1)依题意,kAB2=kOAkOB,即k2=

y1y2
x1x2
,所以k2=
kx1+m
x1
kx2+m
x2

所以x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

所以km(x1+x2)+m2=0,即km(-

8mk
3+4k2
)+m2=0.

因为m≠0,所以k(-

8k
3+4k2
)+1=0,解得k2=
3
4

将得k2=

3
4
代入①,得m2<6.

所以,m的取值范围是(-

6
,0)∪(0,
6
).

(2)曲线

x2
4
+
y2
3
=1与x轴正半轴的交点为Q(2,0).

依题意,

AQ
BQ
,即
AQ
BQ
=0.

于是(2-x1,-y1)•(2-x2,-y2)=0.

x1 x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1 x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0,

∴(k2+1)•

4(m2-3)
3+4k2
+(km-2)•(-
8mk
3+4k2
)+4+m2=0,

化简,得7m2+16mk+4k2=0.

解得,m=-2k或m=-

2k
7
,且均满足3+4k2-m2>0,

当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0)(舍去);

当m=-

2k
7
时,直线l的方程为y=k(x-
2
7
),直线过定点(
2
7
,0).

所以,直线过定点(

2
7
,0).

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